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等差數列求和公式及推導方法

文章來源: 學好網 作者: 浩瀚 發布時間:2021-08-16 10:00 閱讀:

等差數列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數的一種數列,常用A、P表示。這個常數叫做等差數列的公差。前n項和公式為:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

 

等差數列求和公式推導

 

1、等差數列公式

1.定義式

 

定義式

 

2.通項公式

 

通項公式

 

3.求和公式

 

求和公式

 

4.前n項和公式

 

前n項和公式

 

2等差數列推論(1)從通項公式可以看出,a(n)是n的一次函數(d≠0)或常數函數(d=0),(n,an)排在一條直線上,由前n項和公式知,S(n)是n的二次函數(d≠0)或一次函數(d=0,a1≠0),且常數項為0。

(2)從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(類似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。

(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數列,等等。若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)。

證明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因為m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

(4)其他推論:

①和=(首項+末項)×項數÷2;

②項數=(末項-首項)÷公差+1;

③首項=2x和÷項數-末項或末項-公差×(項數-1);

④末項=2x和÷項數-首項;

⑤末項=首項+(項數-1)×公差;

⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。

3、數列求和方法

1、公式法

 

 

公式法

 

2、錯位相減法

 

錯位相減法

 

3、倒序相加法

 

倒序相加法

 

4、分組法

 

分組法

 

5、裂項相消法

 

裂項相消法裂項相消法

 

6、數學歸納法

 

數學歸納法

 

7、通項化歸法

先將通項公式進行化簡,再進行求和。

如:求數列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出,再利用分組等方法求和。

8、并項求和法

(常采用先試探后求和的方法)

例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一:(并項)

求出奇數項和偶數項的和,再相減。

方法二:

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三:

構造新的數列,可借用等差數列與等比數列的復合。

an=n(-1)^(n+1)

9、求和公式

 

求和公式
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